1. Introdução
A lógica modal foi fundado por Arstóteles A lógica modal, apenas um ramo da lógica, havia sido muito praticada na Idade Média, mas foi depois negligenciada na Idade Moderna. No entanto, foi retomada em força em meados do século XX, mesmo que o valor de verdade das suas afirmações ainda não acolha consenso entre os lógicos.
E teve como os Os principais contribuientes Clarence Irving Lewis - em 1912, que deu origem à lógica modal moderna, composta pelas três tradições: semântica, algébrica e sintática. Saul Aaron Kripke - amplamente conhecido como um dos mais importantes filósofos vivos, e relevantíssimo nessa área por sua semãntica de Kripke.Vaughan Ronald Pratt - desenvolvedor do sistema de lógica dinâmica. E Arthur Norman Prior - fundou a lógica temporal e contribuiu com a lógica intensional.
Um ponto importante a ressaltar é que, neste trabalho, são descritos conceitos básicos referentes aos principais tópicos apresentados, e não é feito qualquer aprofundamento em detalhes formais dos mesmos.
2. Breves considerações sobre a lógica
Antes de aprofundar a lógica modal, é necessário referir que Aristóteles, pensador de Antenas foi primeiro a sistematizar o que hoje damos o nome lógico e com ele nasceu também a lógica modal. Isto através da retórica, ou seja, a retórica instigou o surgimento da lógica. “A lógica não nasceu pelo puro e simples interesse especulativo; ela nasceu da necessidade de estabelecer regras para argumentação.”[1]
A lógica concebida a partir de Aristóteles não entra no esquema geral das ciências. Pois ela constitui, com efeito, uma propedêutica a todas as ciências, ou seja, ela pode se ligar ao mesmo tempo, com teorética, com a prática e com poiética. Assim sendo, a lógica mostra como procede o pensamento, sobre a base de quais elementos e segundo qual estrutura.[2] Mais é muito interessante referir que este termo “lógica” não foi usado por Aristóteles para designar aquilo que nós hoje entendemos por ele. Pois Aristóteles designava a lógica por termo “analítica”.
Na metafisica Aristóteles fala de 10 categorias e através destas categorias, tem como consequência o desenvolvimento da própria lógica. Mais na questão da lógica modal Hugh MacColl foi o pioneiro da lógica modal axiomática, isto através da sua obra “SymbolicLogicand its Applications”, em 1906. Em 1918, C. I. Lewis é o primeiro autor a fazer um estudo sistemático nesta área com A SurveyofSymbolicLogic. Na escola fenomenológica, o precussor foi Oskar Becker com o seu artigo «ZurLogik der Modalitäten» de 1930. A primeira formalização clara da lógica modal surge com a obra de C. I. Lewis e de C. H. LangdorfSymbolicLogic de 1932, sendo esta a primeira grande referência desta disciplina.
A lógica modal foi desenvolvida primariamente para lidar com esses conceitos, e somente posteriormente foi estendida para tratar outros. Por essa razão, ou talvez por sua familiaridade e simplicidade, necessidade e possibilidade são comumente tratadas como o tema principal da lógica modal.
As relações entre os dois tipos de modalidade não eram objeto de discussão na antiguidade e nem na idade média, quando era mais acentuada a distinção entre proposições modais e proposições de "inesse" isto é categóricas.
Análises interessantes se encontram em Pedro Hispano e Abelardo e no "De Modalibus porpositionibus" atribuído a S. Tomás. A lógica árabe da idade média também se interessou pelo assunto embora com algumas divergências devido à herança adquirida dos megáricos e estóicos, em especial maneira do fatalismo. Esta tradição se interrompe na idade moderna. As modalidades passam da área da lógica para a filosofia: os modos de predicação não mais dizem respeito aos enunciados e sim aos juízos, isto é, aos atos mentais expressos nas proposições. O exemplo mais característico de entender assim as modalidades se encontra na "Analítica transcendental" de Kant onde elas aparecem como categorias do intelecto deduzidas da tabela dos juízes. Mas o fato mais interessante e curioso do ponto de vista histórico é que a lógica formal do séc. XIX e os mesmos "Principia Mathemática" nascem e desenvolvem ignorando completamente os modos e sua possível inclusão no capítulo da lógica.
3. A Lógica modal
A lógica modal é um sistema de lógica formal que vai preocupar-se ou lidar com modalidades, isto é, o tempo, possibilidade, probabilidade, etc. são tratados numa forma de modos. Alguns estudiosos definem Lógica Modal como um conjunto de outras lógicas.
A lógica modal surgiu em 1963, com o livro SemanticalConsiderationon Modal Logic, de Saul Aaron Kripke. E o seu desenvolvimento foi motivado pela detecção de incompletudes de expressão na teoria clássica da quantificação. E ela tem como aplicação Soluções de problemas de sentenças proposicionais; análise formal de argumento filosófico e o estudo da Inteligência Artificial.
O primeiro tratamento sistemático das modalidades se acha no "Organon" de Aristóteles ao lado das proposições categóricas. Todavia é oportuno observar que à obra do Estagirista, apesar de ter desenvolvido uma teoria bastante avançada do silogismo modal, falta uma rigorosa e unívoca definição das noções modais fundamentais. Essa lógica vai fundamentar-se na introdução de novos símbolos na lógica de predicados tradicional. Onde essa nova simbologia tem por objetivo formalizar expressões como “É necessário que...” e “É possível que...”, ou seja, Aristóteles começa a considerar as afirmações modais, “é como necessário”... ”é impossível que”... “é possível que”, ao modo ao afirmar a verdade ou falsidade de uma proposição. Ou seja, nos "Analíticos" parece entender "possível" como "o que não é necessariamente falso nem necessariamente verdadeiro"; enquanto em "De Interpretatione" acha que "possível" é "o que não é necessariamente falso". Esta acepção foi seguida por Teofrasto, seu sucessor na direção da academia.
A lógica modal, umas da partes mais dificeis da lógica de Aristóteles, é apresentada por ele, paras as proposições, na interpretação, onde estuda as proposições modais, sua oposição e a sua consecução, e nos primeiros analíliticos, ele vai estudar os silogismos modais e teoria da sua conversão, isto é, maneiras de justificar os silogismos imperfeitos. Desde modo, oo possivel e o contigente são sempre aí tomados como sinónimos.
Assim sendo, Aristóteles abre então a discussão sobre as implicações modais, pois ele afirma que de uma afirmação necessária se conclui uma necessária, ou seja, se é necessária que A implique B e A é necessária, então B é necessária.
As lógicas mais familiares na família modal são construídas a partir da lógica fraca K (em homenagem a Saul Kripke). Usando K como base, pode-se construir diferentes sistemas. Os símbolos de K incluem 
para negação, 
para implicação, e 
para o operador modal de necessidade (os outros operadores são construídos a partir destes, inclusive o 
, com a equivalência usando negação e ): onde o K é o resultado da adição dos seguintes teoremas à lógica proposicional:
para negação, para implicação, e para o operador modal de necessidade (os outros operadores são construídos a partir destes, inclusive o , com a equivalência usando negação e ): onde o K é o resultado da adição dos seguintes teoremas à lógica proposicional:
Regra da necessitação: se 
é teorema de K, então 
também é. Axioma da distributividade: 
.
é teorema de K, então também é. Axioma da distributividade: .3.1. Silogismo Modal
Silogismo modal trata-se de um argumento com duas premissas compostas de proposições categóricas, modalizadas e não-modalizadass. “Para Aristóteles, a modalização caracterizava-se por afectar o temo predicado: em «todo o A é necessariamente B», por exemplo. A modalidade era de re.”[3] Assim sendo, Aristóteles reconhece a possibilidade unilateral (não-impossivel) e a possibilidade bilateral (contigência).
O modo de proposição categorica modalizada mais peculiar em Aristóteles era «todo o possivel A é um possivel B», e os seus análogos para outras quantidades ou qualiddades (possibilidade bilateral). Teofrasto interpretou as modalidades como de dicto, permitindon a obtenção de resultados mais claros.
Tudo isto em última análise, os dois sistemas complementam-se:
Exemplo; «Os homens são necessariamente animais; todos os Moçambicanos são homens;
Logo, todos os Moçambicanos são necessariamente animais.
3.2. Formulas da lógica modal
Fórmula modal é uma fórmula constituída de símbolos proposicionais, símbolos de
predicados (incluindo a igualdade), símbolos funcionais, constantes individuais, variáveis individuais, operadores clássicos e operadores modais.
Assim sendo, nas formulas modais encontramos dois tipos de formulas que são:
Fórmula estática, que é toda fórmula que não apresenta nenhum operador modal. Estáticas às quais operadores clássicos e modais são aplicados.
Fórmula modal plena ou dinâmica, é toda fórmula constituída de subfórmulas.
O conjunto de fórmulas válidas da Lógica Modal Proposicional é o menor conjunto de
“strings” do alfabeto modal proposicional obtidas recursivamente satisfazendo as seguintes condições:
- Todo símbolo proposicional é uma fórmula, chamada fórmula atômica.
- Se a é uma fórmula, então (Øa) também é uma fórmula.
- Se a e b são fórmulas, então (aÚb), (aÙb) e (aàb) e (aób) também são
fórmulas.
- Se a é uma fórmula, então pa e ¯a também o são.
- Nada é uma fórmula, a menos que seja forçada a ser por um dos itens acima.
A fórmula K = _(A → B) → (_A → _B) é válida em todas as interpretações, independentemente da forma tomada pela relação de acessibilidade R. As lógicas modais onde a fórmula K é válida são chamadas normais ou
sistemas K
4. Conclusão
Este trabalho apresentou um estudo introdutório sobre os fundamentos de lógica modal e sobre suas aplicações à filosofia ao mesmo ao conhecimento. Sendo a Lógica Modal trata de argumentos que envolvem os conceitos de necessidade e possibilidade.
Também esse estudo foi desenvolvido iniciando pela revisão de alguns aspectos genéricos de sistemas formais e da Lógica Clássica Proposicional, e a parte principal do trabalho apresentou os conceitos básicos das Lógicas Modais.
É lógico que devido ao seu escopo limitado, o presente trabalho não apresenta aprofundamento na fundamentação das lógicas nem nas suas aplicações. Esse estudo de aspectos mais detalhados representa uma interessante possibilidade de trabalhos futuros sobre o tema e suas expansões.
5. Bibliografia
REALE, Giovanni-ANTISERI, Dario. (2003). História da filosofia: filosofia pagã antiga, Vol. 1, ed. Paulus, S. Paulo.
DETLEFSEN, Michael. (2004). Glossário de lógica. Ed. 70. Lisboa, Portugal.
BLANCHÉ, Robert-DUBUCS, Jacques. (1996). História da Lógica. Ed. 70. Lisboa, Portugal
COSCARELLI, Bruno Costa (2008). Introduçãoà Modal. 98 folhas. Tese ( Mestrado em Matemática) – Instituto de matemática e estática da universidade de São Paulo.
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